Mappe di Poincaré

Figura: Mappa di Poincaré.

Tra il 1887 ed il 1890, Henry Poincaré, lavorando al problema della stabilità delle orbite di tre corpi celesti soggetti alla mutua attrazione gravitazionale, fu il primo a scoprire che sistemi dinamici semplici (cioè descritti da un piccolo numero di equazioni differenziali) possono avere soluzioni estremamente complicate le quali, pur rimanendo confinate all'interno di un insieme limitato dello spazio delle fasi, non sono periodiche, né quasi periodiche, né tendono ad un punto fisso (esse sono oggi chiamate soluzioni caotiche).

Uno degli strumenti matematici che egli dovette inventare per dimostrare l'esistenza di tali soluzioni è noto col nome di MAPPA DI POINCARÉ. Questa tecnica consiste nel ridurre un sistema dinamico ad $N$ dimensioni (cioé descritto da $N$ equazioni) in una mappa ad $N-1$ dimensioni. L'idea che sta alla base della sua costruzione è illustrata in figura (). Si tratta di scegliere una oppurtuna (iper)superficie $\Sigma$ che intersechi le orbite ottenute risolvendo un certo sistema dinamico. La sequenza $\left\{ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},\mathbf{x}_{3},\ldots \right\}$ dei punti di intersezione fra le orbite e la superficie definisce una mappa $\mathbf{P}:\Sigma \longmapsto \Sigma$ sulla superficie $\Sigma$. In particolare, se $\Sigma$ interseca un'orbita periodica del sistema dinamico, la mappa $\mathbf{P}$ avrà un punto fisso $\mathbf{x}_{F}$ (cioé tale che $\mathbf{x}_{F}=\mathbf{P}(\mathbf{x}_{F})$). Pertanto, il problema di studiare la stabilità di un'orbita periodica di un sistema dinamico continuo si riconduce al problema di studiare la stabilità di un punto fisso della sua mappa di Poincaré.

In termini concettuali questo è una enorme semplificazione. In termini pratici, scrivere una espressione esplicita per la mappa $\mathbf{P}$ richiede, in genere, di risolvere analiticamente il sistema dinamico di partenza, il che, ovviamente, rende le cose meno semplici di quanto non sembrassero. Tuttavia, anche quando non è possibile trovare la mappa di Poincaré facendi i conti con carta e penna, è sempre possibile integrare numericamente un sistema dinamico a tempo continuo e lasciare ad un programma per computer il compito estenuante di trovare i punti di intersezione fra l'orbita calcolata numericamente ed una superficie $\Sigma$ opportunamente specificata. Spesso il semplice fatto di osservare l'evoluzione del sistema in $N-1$ dimensioni, anziché in $N$, è sufficiente a giustificare l'uso della mappa di Poincaré.